Une solution au problème de Davenport—Lewis—Schinzel

En 1961, Davenport, Lewis et Schinzel, en étudiant des équations du type $f(x)=g(y)$, où $f$ et $g$ sont des polynômes à coefficients rationnels, ont été amenés à poser le problème suivant : déterminer tous les polynômes complexes $f,g$ tels que le polynôme bivarié $f(X)−g(Y)$ soit réductible. Ce problème a donné lieu à de nombreux travaux sur plusieurs générations. Dans un travail avec Joachim König et Danny Neftin, nous apportons une solution complète à ce problème. Une application concerne le problème de Hilbert–Siegel qui, étant donné un polynôme $f$ à coefficients rationnels, consiste à déterminer les entiers $a$ tels que $f(X)−a$ soit réductible. Notre méthode utilise une approche mêlant géométrie arithmétique et théorie des groupes finis. Je présenterai également quelques problèmes ouverts qui semblent accessibles par cette approche.