• Nombres réels

Il est bien connu que la suite des décimales pour un nombre rationnel est finie ou ultimement périodique ( i.e. périodique à partir d'un certain rang). Il est clair que si n divise 10 l pour un certain entier positif l, alors le développement décimal de n'/n est fini. Dans le cas général la périodicité provient des deux faits suivants. D'abord, tout entier positif n divise 10l( 10m -1) pour certains entiers positifs l et m . Deuxièmement, pour tout entier positif i , nous avons l'égalité suivante

1/(10i -1)=10-i + 10-2i + .... + 10-ki + ......

Nous illustrons cela par un exemple. Ainsi 22 divise 10*( 102 -1) et par conséquent

135 / 22 = 6075 / (10*(102 -1)) = 6075 * ( 10-3 + 10-5 + 10-7 +...... )

ce qui devient

135/22 = 6.1 + 36*10-3 + 36*10-5 + ...... = 6.1363636....[36]...

La période est indiquée entre crochets.
Maintenant les nombres réels positifs sont obtenus en considérant toutes les suites possibles de décimales. L'ensemble des nombres réels est noté R . Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appeles nombres irrationnels. Ainsi pour un nombre irrationnel au hasard, la suite des décimales est imprévisible. Par exemple

21/2 = 1.414213562..... ou   pi = 3.1415926535....

La complexité de la suite des décimales pour ces deux nombres est un mystère.

• Nombres réels algébriques et transcendants

Parmi les nombres réels il existe une autre classification importante entre les nombres algébriques et les autres nombres qui sont dits transcendants. Les nombres algébriques sont ceux qui vérifient une équation algébrique à coéfficients entiers. Les nombres rationnels sont bien sur des nombres algébriques, étant solutions d'équations du premier degré. Ainsi par exemple 135/11 satisfait l'équation 11x-135 = 0 . La racine carrée de deux, notée 21/2 , est aussi un nombre algébrique, étant solution de l'équation x2 - 2 = 0 . D'un autre coté le nombre pi est un fameux exemple de nombre transcendant.

 

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