• Ecriture simplifiée
En pousuivant cette analogie avec les nombres réels, et puisque le rôle de la variable T est formel, nous pouvons utiliser une écriture plus courte pour un nombre formel. Ainsi par exemple le nombre formel suivant de degré cinq
X = aT5 + bT3+
cT2 + dT-1 + eT-2 X = a0bc00.de X = a0bc00de / 100 Il est maintenant nécéssaire de dire quelles sortes de quantités doivent etre les coefficients d'un nombre formels. Un ensemble de nombres est inséparable des opérations effectuées sur ces nombres, c'est à dire de l'addition et de la multiplication. Quand tout nombre a un opposé pour l'addition dans cet ensemble et aussi tout nombre non-nul a un inverse dans ce même ensemble, alors cet ensemble est appelé un corps de nombres. Les corps sont des ensembles convenables de nombres à cause de l'existence de l'opposé et de l'inverse, qui implique la possibilité de soustraire (en ajoutant l'opposé) et de diviser (en multipliant par l'inverse). Tout corps contient en premier lieu 0 et 1. Par exemple R et Q sont des corps, mais ce n'est pas le cas pour N ou Z. aTn + bTn = (a +
b)Tn and aTn * bTm = (a *
b)Tn+m
-(aTn) = (-a)Tn et
(aTn)-1 = a-1T-n
En considérant les séries formelles comme des nombres, nous voulons naturellement pouvoir les additioner, les soustraire, les multiplier et les diviser. En accord avec les règles élémentaires sur les expressions algébriques, nous devrions avoir