Autour de la conjecture de Poonen sur les polynômes quadratiques

Soit $c$ un nombre rationnel. Considérons le polynôme quadratique  $\varphi_c(X)=X^2-c$. On s'intéresse aux cycles de $\varphi _c$ dans $\mathbb{Q}$. Plus précisément, on s'intéresse à l'une des conjectures de Poonen datant de 1991 selon laquelle tout cycle de $\varphi _c$ dans $\mathbb{Q}$ admet une longueur au plus égale à $3$. Dans notre exposé, on discutera de cette conjecture et on rappellera les résultats connus. En suite, on utilisera des moyens arithmetiques, combinatoriaux et analytiques simples pour étudier des cas particuliers de ce problème.