(proba-stats) La mesure de Yang–Mills sur les surfaces compactes

La théorie de Yang–Mills est une branche de la théorie quantique des champs qui décrit les interactions élémentaires. Une façon de la formuler est l’intégrale de Feynman, qui consiste à moyenner sur toutes les configurations d’un champ vivant dans un espace de dimension infinie. La mesure qui permet de réaliser cette moyenne est en général difficile à définir mathématiquement, et dans un espace temps de dimension 3 ou 4, cette mesure n’a toujours pas de construction. En dimension 2, deux approches ont abouti. L’approche par processus d’holonomies (Driver, Sengupta, Lévy) qui permet de construire cette mesure comme un transport aléatoire qui sonde le champ le long de boucles, et l’approche par connexions distributionnelles (Driver, Chevyrev, Shen, …) qui construit une distribution aléatoire traitant le champ comme un objet irrégulier.

Après une brève introduction à la théorie de Yang–Mills, je présenterai ces deux constructions, leurs liens, et une contribution récente à la seconde, en collaboration avec Nguyen Viet Dang (IRMA,

Strasbourg). Je discuterai aussi d’un phénomène d’universalité de cette mesure, démontré sur le tore par Chevyrev et Shen, que nous avons généralisé sur toutes les surfaces compactes.