En introduction, nous rappellerons la notion de régularité maximale en $L^p$, illustrée par un exemple d'application à un problème non linéaire. Nous présenterons ensuite une approche simple et unifiée pour étudier la fermeture de la somme d'opérateurs sectoriels $A + B$ (avec $\omega_A + \omega_B$< $\pi$), basée sur des normes de type Littlewood-Paley et des outils d'interpolation. Celle-ci permet de donner des preuves concises des résultats classiques de Da Prato-Grisvard et Kalton-Weis. Si le temps le permet, nous exposerons un nouveau résultat dans les espaces d'interpolation $\ell^q$, illustré par un théorème de régularité maximale pour des équations paraboliques abstraites, ainsi qu'une nouvelle preuve du théorème de Dore-Venni.

Dans cet exposé, je présenterai un théorème d'ergodicité quantique pour les fonctions propres des sous-Laplaciens des structures de contact métriques, sous l'hypothèse que le flot de Reeb est ergodique. Le résultat repose sur un calcul pseudodifférentiel semi-classique adapté aux variétés filtrées, que je spécialise au cadre des variétés de contact. Un ingrédient essentiel à la preuve est la construction de projecteurs microlocaux, appelés projecteurs de Landau, qui commutent avec le sous-Laplacien et permettent de décomposer la dynamique en composantes effectives. Sur chacune de ces composantes, le sous-Laplacien reproduit essentiellement l'action du champ de Reeb. Une fois établies des lois de Weyl microlocales, la démonstration de l'ergodicité quantique suit alors les grandes lignes de la preuve classique du théorème de Schnirelman.

Bilevel problems are optimization problems characterized by a hierarchical structure. In these problems, one seeks to minimize an outer function subject to the constraint that certain variables minimize an inner function. These problems are gaining popularity in the machine learning community due to their wide range of applications, such as hyperparameter optimization and data reweighting.

In this talk, we introduce bilevel optimization and demonstrate how various machine learning problems can be formulated within this framework. We then focus on the algorithmic aspects of solving bilevel problems. Specifically, we present a general algorithmic framework that enables the adaptation of first-order stochastic solvers—originally designed for single-level problems—to the bilevel setting. We provide theoretical guarantees for specific instances of this framework.

Cette présentation porte sur la simulation des milieux granulaires denses composés de particules macroscopiques en suspension dans un fluide visqueux, comme les boues. Ces systèmes présentent des comportements macroscopiques extrêmement complexes, incluant des phénomènes tels que les instabilités de concentration et les blocages d’écoulement. 

Au cœur de ces comportements se trouvent les interactions physiques microscopiques entre particules voisines, en particulier les effets de lubrification induits par le fluide interstitiel, ainsi que les contacts solides. Ces interactions sont essentielles non seulement pour comprendre les écoulements granulaires immergés, mais aussi dans le cadre plus large des suspensions de particules. Malgré leur importance, l’influence de ces mécanismes microscopiques sur la dynamique globale du système reste mal comprise. 

Une difficulté majeure provient du caractère singulier de ces effets lorsque la distance entre particules tend vers zéro, introduisant des singularités temporelles. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux modèles de type dynamique des contacts, prenant en compte la lubrification ainsi que le contact solide, avec ou sans friction. Nous montrerons que l’on peut construire, à partir de ces modèles, des schémas numériques stables et robustes. Ces schémas mènent, à chaque itération en temps, à la résolution d’un problème d’optimisation sous contrainte. Nous illustrerons l’exposé par des résultats numériques.

Motivated by studying special values of zeta functions attached to finite type $\mathbf{F}_p$-schemes, we introduce a category of ``arithmetic $C(S^1,R)$-modules'' attached to any Dedekind ring R, and compute the 0th K-group of this category. Specializing to the case of $R=\mathbf{Z}_\ell$ for some prime $\ell eq p$ (resp. $R=\mathbf{Z}_p$), we prove that there is a natural functorial lift of the etale cohomology of perfect etale $\mathbf{Z}_\ell$ sheaves (resp. syntomic cohomology of perfect prismatic F-gauges) on a point to arithmetic $C(S^1,\mathbf{Z}_\ell)$-modules (resp. arithmetic $C(S^1,\mathbf{Z}_p)$-modules). This allows us to define a notion of the multiplicative Euler characteristic via a map from the $K_0$-group which makes sense without assuming Tate's semi-simplicity conjecture. In particular, we can remove this hypothesis from a theorem of Milne proving a cohomological formula for zeta values attached to smooth proper $\mathbf{F}_p$-schemes.