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Séminaire Théorie des Nombres

Responsables : Elena Berardini, Léo Poyeton.

  • Le 6 janvier 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Thibault Poiret -
    Jacobiennes compactifiées, courbes logarithmiques et modèles de Néron
    À toute courbe lisse, on peut naturellement associer une variété abélienne, sa Jacobienne.L'espace de modules des courbes lisses de genre fixé peut être compactifié en un espace de modules de courbes nodales. Cela soulève la question d'étendre la définition de Jacobienne aux courbes nodales, en préservant au mieux ses propriétés et sa modularité. Nous discuterons des difficultés que cela présente, et d'outils permettant de les affronter.
  • Le 13 janvier 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Wouter Castryck Louvain
    Scrollar invariants, syzygies and representations of the symmetric group

  • Le 20 janvier 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Adrien Morin IMB
    Valeurs spéciales de fonctions L pour les faisceaux Z-constructibles en dimension 1
    La cohomologie Weil-étale est une théorie cohomologique (en partie conjecturale) pour les schémas arithmétiques, qui se comporte mieux que la cohomologie étale et a des liens conjecturaux aux valeurs spéciales de fonctions zêta. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut définir en dimension 1 la cohomologie Weil-étale à support compact à coefficients un faisceau Z-constructible, et j'établirai un lien avec la valeur spéciale en s=0 d'une fonction L naturellement associée aux coefficients considérés. Il y a 3 cas particuliers intéressants : on obtient une formule cohomologique pour la valeur spéciale en s=0 de la fonction zêta du spectre d'un ordre dans un corps de nombres, ce qui généralise la formule analytique du nombre de classes; on obtient aussi une formule pour la valeur spéciale en s=0 des fonctions L d'Artin associées à une représentation rationnelle du groupe de Galois d'un corps global; et enfin la formule pour un faisceau constructible permet de retrouver la formule de Tate pour la caractéristique d'Euler d'un corps de nombres.
  • Le 26 janvier 2023 à 15:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle 2
    François Hennecart Saint-Etienne
    Le théorème de Kneser dans les groupes abéliens $\sigma$-finis.
    Résoudre un problème inverse en théorie additive des nombres consiste à fournir une description fine de la structure d'ensembles satisfaisant une condition contraignante portant sur la taille de leur somme. Cette description sera d'autant plus fine que la contrainte est proche de l'optimal. Par exemple la somme $A+B$ de deux ensembles finis non vides de nombres réels a pour taille (ici le cardinal) minimale la sommes des cardinaux moins un : $|A+B|\geq |A|+|B|-1$.Le problème inverse associé consiste à décrire les paires $(A,B)$ telle que l'égalité a lieu. L'environnement générique est celui d'un groupe $G$ (ou d'un semi-groupe) abélien fini ou non. Il faut y définir la notion de taille d'une partie et comparer les tailles de $A$, $B$ et $A+B$ afin de poser un problème inverse susceptible d'être résolu. Si $\tau(A)$ désigne la taille d'une partie $A$ de $G$, on dit que $(A,B)$ est une paire critique si $\tau(A+B)<\tau(A)+\tau(B)$. Le théorème de Kneser (1953) dans les groupes abéliens affirme que si $(A,B)$ est une paire critique (pour le cardinal), alors il existe un sous-groupe $H$ tel que $A+B=A+B+H$ et $|A+B|=|A+H|+|B+H|-|H|$.L'autre fameux théorème de Kneser porte sur les paires critiques de suites d'entiers que l'on mesure à travers leur densité asymptotique inférieure. Kneser (1956) a ensuite établi un énoncé qui porte sur les sous-ensembles de groupes abéliens localement compacts munis de leur mesure de Haar. Beaucoup plus récemment Jin (2006, 2007, 2010) et Griesmer (2013) ont démontré des résultats en termes de densité, notamment dans les groupes abéliens dénombrables.Le long de cet exposé, je donnerai des éléments historiques plus ou moins récents sur ces questions et traiterai un cas du théorème de Kneser qui se situe à l'interface des résultats initiaux de Kneser et ceux de Griesmer, à savoir celui des groupes abéliens $\sigma$-finis. Ce travail a été conduit en collaboration avec P-Y. Bienvenu (Dublin).
  • Le 3 février 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Paul Péringuey Nancy
    Une généralisation de la conjecture d'Artin parmi les presque premiers
    La conjecture d'Artin stipule que l'ensemble des nombres premiers pour lesquels un entier a différent de -1 ou un carré parfait est racine primitive admet une densité asymptotique parmi tous les premiers. En 1967 C.Hooley démontra cette conjecture sous l'hypothèse de Riemann généralisée. La notion de racine primitive peut être étendue modulo un entier quelconque en considérant alors les éléments du groupe multiplicatif engendrant des sous-groupes de tailles maximales. Je parlerai de l'ensemble des presque premiers pour lesquels un nombre a est racine primitive généralisée, et montrerai que l'on obtient, sous GRH, des résultats similaires à la conjecture d'Artin pour les racines primitives.
  • Le 10 février 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Kevin Destagnol Paris-Saclay
    Moyennes de fonctions arithmétiques évaluées en des polynômes et applications
    On expliquera comment estimer la moyenne d'une fonction arithmétique évaluée en des polynômes pourvu que la fonction arithmétique se comporte bien dans les progressions arithmétiques et que le nombre de variables des polynômes soit suffisamment grand. On donnera alors quelques applications au problème de Loughran--Smeets qui étudie la probabilité avec laquelle une équation diophantienne choisie au hasard au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Efthymios Sofos et Leonard Hochfilzer.
  • Le 24 février 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Daniel Kriz Sorbonne Université
    Les conjectures principales supersingulières, la conjecture de Sylvester et la conjecture de Goldfeld
    Je présenterai un théorème « p-converse » à rang 0 et 1 pour les courbes elliptiques sur les rationnels à multiplication complexe (CM) dans le cas où le nombre premier p est ramifié dans le corps CM. Ce théorème a des applications à deux problèmes classiques d'arithmétique: il vérifie la conjecture de Sylvester de 1879 sur les nombres premiers exprimables comme une somme de deux cubes rationnels et établit la conjecture de Goldfeld pour la famille des nombres congruents. La démonstration répose sur la formulation et la preuve d'une nouvelle conjecture principale d'Iwasawa, qui à leur tour utilisent de nouvelles méthodes issues des interactions entre les objets théoriques d'Iwasawa et la théorie de Hodge p-adique relative sur les courbes de Shimura à niveau infini.
  • Le 3 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Andrés Jaramillo Puentes Essen
    Intersections Tropicales Enrichies Quadratiquement
    La géométrie tropicale est un outil calculatoire puissant en géométrie énumérative réelle et complexe. Les résultats récents de la théorie homotopique motivique nous permettent d'étudier des questions de géométrie énumérative sur un corps arbitraire k. Dans cet exposé, on présente un des premiers exemples d'utilisation de la géométrie tropicale afin de résoudre des questions de la géométrie énumérative sur k : un théorème de Bézout enrichi quadratiquement. On expliquera les notions nécessaires de la géométrie énumérative valuée dans l'anneau de Grothendieck-Witt des formes quadratiques sur k. On définira une multiplicité d'intersection motivique valuée sur cet anneau et on prouve comment la calculer de façon combinatoire.Finalement, on utilisera ces idées pour prouver le théorème de Bézout enrichi quadratiquement. Si le temps le permet, on expliquera comment généraliser cette preuve pour montrer un analogue du théorème de Bernstein-Kushnirenko et sa correspondance avec l'intersectiondes hypersurfaces dans les variétés toriques.
  • Le 10 mars 2023 à 13:30
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Rencontre ANR FRACASSO : Marta Pieropan (Utrecht) null
    On rationally connected varieties over $C_1$ fields of characteristic 0
    In the 1950s Lang studied the properties of $C_1$ fields, that is, fields over which every hypersurface of degree at most n in a projective space of dimension n has a rational point. Later he conjectured that every smooth proper rationally connected variety over a $C_1$ field has a rational point. The conjecture is proven for finite fields (Esnault) and function fields of curves over algebraically closed fields (GraberHarrisde JongStarr), but it is still open for the maximal unramified extensions of $p$-adic fields. I use birational geometry in characteristic 0 to reduce the conjecture to the problem of finding rational points on Fano varieties with terminal singularities, and I provide some evidence in dimension 3.
  • Le 17 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Veronika Ertl Ratisbonne
    Un approche rigide à la cohomologie de Hyodo--Kato
    La cohomologie de Hyodo-Kato joue un rôle important dans la géométrie arithmétique, en particulier dans la théorie de Hodge p-adique. Elle permet de munir la cohomologie de de Rham d'un schéma (propre de réduction sémistable) sur un anneau de valuation discrète complet avec un structure de (Æ,N)-module. Je vais présenter une approche à la théorie de Hyodo-Kato fondée sur des méthodes rigides analytique, qui permet d'étudier des schémas plus généraux (en particulier non-nécessairement propre). Dans un cas particulier, je vais expliquer comment cette construction permet de comprendre la relation entre la cohomologie rigide de Berthelot et la cohomologie de Hyodo-Kato. (Travail en cours en commun avec Kazuki Yamada, Keio University.)
  • Le 24 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Dino Lorenzini Georgia
    Torsion and Tamagawa numbers
    Associated with an abelian variety A/K over a number field K is a finite set of integers greater than 1 called the local Tamagawa numbers of A/K. Assuming that the abelian variety A/K has a K-rational torsion point of prime order N, we can ask whether it is possible for none of the local Tamagawa numbers to be divisible by N. The ratio (product of the Tamagawa numbers)/|Torsion in E(K)| appears in the conjectural leading term of the L-function of A in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and we are thus interested in understanding whether there are oftencancellation in this ratio.We will present some finiteness results on this question in the case of elliptic curves. More precisely, let d>0 be an integer, and assume that there exist infinitely fields K/Q of degree d with an elliptic curve E/K having a K-rational point of order N. We will show that for certain such pairs (d,N), there are only finitely many fields K/Q of degree d such that there exists an elliptic curve E/K having a K-rational point of order Nand none of the local Tamagawa numbers are divisible by N. The lists of known exceptions are surprisingly small when d is at most 7."
  • Le 31 mars 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Quentin Gazda École Polytechnique
    Cohomologie motivique en arithmétique des corps de fonctions
    Des valeurs zêta intéressantes apparaissent en arithmétique des corps de fonctions comme valeur spéciales de fonctions L de A-motifs d'Anderson. Je réfléchis actuellement à l'analogue d'une conjecture de Beilinson dans ce cadre, liant ces valeurs spéciales au déterminant d'un régulateur. Dans cet exposé, je présenterai mes premiers pas dans ce programme : après un rappel général sur les A-motifs et leur théorie, j'expliquerai comment définir une « cohomologie A-motivique ». On définira ensuite un régulateur, et je conclurai sur quelques calculs récents obtenus avec Andreas Maurischat dans le cas des twists de Carlitz.
  • Le 7 avril 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Adel Betina Copenhague
    La conjecture des zéros exceptionnels pour les fonctions L p-adiques de Katz.
    Dans un travail commun avec M.L. Hsieh, on démontre une variante de la conjecture de Gross-Stark pour les fonctions L p-adiques de Katz associées à des corps CM, i.e. on donne une formule pour la dérivée en s = 0 le long de la direction cyclotomique. Notre méthode est basée sur l'étude des congruences entre des familles P-adiques de type CM et non-CM via la méthode de Rankin-Selberg p-adique. On construit une famille de Hida non-CM qui est congruente à une famille de Hida CM pour la spécialisation 1+µ en dehors des coefficients en p, et telle que les coefficients en p sont explicitement liées à la dérivée en s = 0 de la fonction L p-adique anticyclotomique de Katz. On détermine les coefficients en p infinitésimalement via une variante très générale du lemme de Ribet en déformations Galoisiennes qu'on démontre (la représentation résiduelle est scalaire localement en p !)
  • Le 14 avril 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Ratko Darda Bâle
    Une nouvelle classe de hauteurs sur les champs et conjecture de Manin
    La conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano. Plus précisément, pour une variété de Fano lisse, nous attendons que, en dehors d'un ensemble mince, le nombre de points rationnels de hauteur moins que $B$ soit asymptotique à $C B^{a}\log(B)^b$ pour certains $C, a, b>0$. Cette prédiction est (formellement) très similaire à la prédiction de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes ayant le groupe de Galois fixe et le discriminant borné. Les deux conjectures sont concernées par des points rationnels sur les champs de Deligne-Mumford. Nous présentons une nouvelle classe de hauteurs sur ces champs. Nous les utilisons pour donner une version de la conjecture de Manin pour les champs (de Deligne-Mumford), plus forte que celle d'Ellenberg, Satriano et Zureick-Brown, ayant les conjectures de Manin et de Malle comme conséquences. C'est un travail en commun avec T. Yasuda.
  • Le 28 avril 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Francesco Lemma IMJ Paris
    Cycles algébriques et fonctorialité de Langlands de $G_2$ à $PGSp(6)$.
    On considérera la composante de la cohomologie d'une variété de Siegel de dimension 6 correspondant à une représentation automorphe cuspidale de $PGSp(6)$ qui provient du groupe exceptionnel $G_2$. Gross et Savin ont conjecturé que la droite Galois invariante qu'on y trouve est engendrée par la classe de cohomologie d'une sous-variété de Hilbert. On présentera un travail en commun avec Cauchi et Rodrigues Jacinto permettant de ramener la démonstration de la conjecture à la non-nullité d'une intégrale archimédienne (arXiv:2202.09394).
  • Le 5 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Séverin Philip Kyoto
    Groupes de monodromie finie et variétés abéliennes CM
    Après un peu de contexte sur les variétés abéliennes et la semi-stabilité j'introduirai les groupes de monodromie finie ainsi que leur lien avec la réduction semi-stable. Je présenterai sans détails un résultat de type local-global relatif pour ces groupes. On verra ensuite comment utiliser la théorie CM pour produire des gros groupes de monodromie, ce qui passera par la résolution de problèmes de Grunwald pour certains produits en couronne. Avec le principe local-global précédent cette construction permet de borner le degré de semi-stabilité en fonction de la dimension.
  • Le 12 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Relâche

  • Le 19 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Relâche

  • Le 26 mai 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Luca Tasin Milan
    Sasaki-Einstein metrics on spheres
    It is a classical problem in geometry to construct interesting metrics on spheres. Sasaki-Einstein metrics are the analogous of Kähler-Einstein metrics for odd dimensional real manifolds. I will report on a joint work with Yuchen Liu and Taro Sano in which we construct infinitely many Sasaki-Einstein metrics on odd-dimensional spheres that bound parallelizable manifolds, proving in this way conjectures of Boyer-Galicki-Kollár and Collins-Székelyhidi. The construction is based on showing the K-stability of certain Fano weighted orbifold hypersurfaces.
  • Le 2 juin 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Eknath Ghate TIFR Bombay et IHES
    Zig-zag holds for Galois representations
    I will give a survey of recent work on the description of the explicit shape of the reductions of two-dimensional local Galois representations, concentrating on our recent proof of the zig-zag conjecture.

  • Le 9 juin 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de Conférences
    Olivier Wittenberg Université Sorbonne Paris Nord
    Descente hyper-résoluble pour les points rationnels
    Le formalisme aujourd'hui classique de la descente sous des tores introduit
    par Colliot-Thélène et Sansuc dans les années 1980 admet un analogue dans
    lequel les tores sont remplacés par des groupes finis hyper-résolubles.
    J'expliquerai ce formalisme et en discuterai des applications, notamment
    aux points rationnels des espaces homogènes de groupes linéaires et au
    problème inverse de Galois avec normes prescrites (généralisation des
    travaux de Frei-Loughran-Newton). Il s'agit d'un travail en commun avec
    Yonatan Harpaz.

  • Le 22 septembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Abhinandan (University of Tokyo)
    Prismatic F-crystals and Wach modules
    For an unramified extension $K/\mathbb{Q}_p$ with perfect residue field, by works of Fontaine, Colmez, Wach and Berger, it is well-known that the category of Wach modules over a certain integral period ring $\mathbf{A}_K^+$ is equivalent to the category of lattices inside crystalline representations of $G_K$, i.e. the absolute Galois group of $K$. Moreover, by recent work of Bhatt and Scholze, we also know that lattices inside crystalline representations of $G_K$ are equivalent to the category of prismatic $F$-crystals over $O_K$, i.e. the ring of integers of $K$. The goal of this talk is to present a direct construction of the categorical equivalence between Wach modules over $\mathbf{A}_K^+$ and prismatic $F$-crystals over $O_K$. If time permits, we will also mention generalisation of our construction to the relative case as well as relationships between relative Wach modules, $q$-connections and filtered $(\varphi, \partial)$-modules.
  • Le 29 septembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Sophie Marques (Stellenbosch University)
    La géométrie des espaces de modules : classification des extensions de corps à isomorphisme près
    Dans cet exposé, on se focalise sur la classification des extensions de corps à isomorphisme près, une tâche qui nécessite la création d'un système de classification solide. L'objectif est de mieux comprendre la structure des extensions de corps en étudiant les familles de polynômes associées. L'analyse s'approfondit en examinant les cas
    spécifiques des extensions cubiques, quartiques et radicales, y compris celles qui ne sont pas nécessairement galoisiennes, en introduisant des concepts tel que la fermeture radicale et l'Artin-Schreier. Pour faire cela, une attention particulière est portée aux extensions cyclotomiques.
    (joint with Jacob Ward, Mpendulo Cele, Elizabeth Merma, Chad Brache)
  • Le 6 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Luis Santiago Palacios (IMB - Université de Bordeaux)
    Geometry of the Bianchi eigenvariety at non-cuspidal points
    An important tool to study automorphic representations in the framework of the Langlands program is to produce $p$-adic variation. Such variation is captured geometrically in the study of certain rigid analytic spaces, called eigenvarieties.
    In this talk, we first introduce Bianchi modular forms, that is, automorphic forms for $\mathrm{GL}_2$ over an imaginary quadratic field, and then discuss its contribution to the cohomology of the Bianchi threefold. Further, we present the Bianchi eigenvariety and state our result about its geometry at a special non-cuspidal point. Time permitting, we will give some ideas about the proof. This is a joint work in progress with Daniel Barrera (Universidad de Santiago de Chile).
  • Le 13 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Riccardo Pengo (Leibniz Universität Hannover)
    Théorie d'Iwasawa pour les graphes et mesures de Mahler p-adiques
    La théorie d'Iwasawa étudie l'évolution de certains invariants, comme le nombres des classes d'idéaux d'un corps de nombres, dans une tour d'objets, donnée par exemple par la tour des corps cyclotomiques. En regardant les analogies entre corps de nombres, corps de fonctions des courbes sur les corps finis, nœuds et graphes, la théorie d'Iwasawa a été étendue à ces types d'objets. Pour le cas des graphes, plusieurs auteurs ont montré que les valuations p-adiques des nombres d'arbres couvrants dans une tour l-adique des graphs, qui est l'invariant analogue au nombre des classes d'idéaux, satisfait des analogues des théorèmes classiques de Iwasawa (quand l et p coincident) et Washington (quand l est différent de p), et d'une conjecture de Greenberg. Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Daniel Vallières, nous montrerons comment ces résultats se globalisent, en considérant une tour des graphs dont le groupe de Galois est isomorphe aux entiers. En particulier, nous montrerons que dans ce cas les invariants d'Iwasawa peuvent être calculés grâce à un polynôme associé à la tour, et à ses mesures de Mahler p-adiques, qui mesurent la distribution p-adique des racines du polynôme en question. Enfin, nous montrerons comment ce théorème peut être utilisé pour récupérer des résultats antécédents autours des asymptotiques des nombres d'arbres couvrants de certains types de graphes, qui généralisent les graphes de Petersen, et pour montrer une formule explicite pour les valuations p-adiques des nombres de Fibonacci, due à Lengyel.
  • Le 20 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Cathy Swaenepoel (Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche)
    Nombres premiers réversibles
    Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d'intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
    $$ \overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
    \quad
    \mbox{ où }
    \quad
    k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j$$
    avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d'estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l'ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi de montrer qu'il existe une infinité de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers, comptés avec multiplicité.
    Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres
    entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

    Il s'agit d'un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.
  • Le 27 octobre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Sary Drappeau (Institut de Mathématiques de Marseille)
    Formes modulaires quantiques de poids non-nul
    Dans un travail récent avec Sandro Bettin ((Gênes)), on étudie les applications $f : \mathbb{Q} → \mathbb{C}$ qui satisfont des équations fonctionnelles du type suivant : pour tout $γ ∈ SL(2, \mathbb{Z})$, la différence $h_γ(x) := f(γ x) - |cx + d|^{-k} f(x)$ a de bonnes propriétés de régularité. Ici k est un nombre complexe. Cette définition est due à Zagier ((2010)), et une telle applications f est dite "modulaire quantique". Parmi les exemples naturels notables, on trouve les intégrales d'Eichler de formes modulaires classiques ou de formes de Maass, ou bien des sommes de cotangentes. Dans cet exposé on s'intéressera au cas où $Re(k)eq 0$, et à l'existence de fonctions limites qui nous permettent de prédire la répartition des valeurs de f sur les rationels dont le dénominateur tend vers l'infini.
  • Le 10 novembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Matilde Maccan (IRMAR)
    Variétés homogènes projectives rationnelles en caractéristique positive
    Toute variété homogène, projective et rationnelle peut s’écrire comme quotient d’un groupe semisimple par un sous-groupe dit parabolique. Dans cet exposé, on généralisera les résultats de Wenzel, Haboush et Lauritzen en traitant le cas des sous-groupes paraboliques sur un corps algébriquement clos de caractéristique petite, achevant ainsi leur classification en toute caractéristique.
  • Le 17 novembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Daniel Vargas-Montoya (IMPAN)
    Congruences, indépendance algébrique et Monodromie
    Récemment Adamczeswki Bell et Delaygue ont donné un critère d’indépendance algébrique pour les séries à coefficients dans Z qui vérifient certaines congruences modulo p pour une infinité de nombres premiers p. À savoir : les congruences de type «Lucas». Il s’avère que la plupart des séries qui vérifient telles congruences sont des G-functions. Dans un premier temps, nous allons donc voir comment obtenir ce type de congruences lorsque la série est une solution d’un opérateur différentiel. Les outils essentiels sont d’une part l’étude p-adique de l’opérateur différentiel, structure de Frobenius forte, et d’autre part la notion classique de monodromie unipotente maximale. Dans un deuxième temps, je vais introduire un nouvel ensemble de G-functions dénoté MF. Nous montrons donc que les éléments de MF vérifient des congruences assez convenables. Dans un troisième temps, nous verrons que pour certains éléments de MF ces congruences sont aussi pertinentes pour établir leur indépendance algébrique.
  • Le 24 novembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Michel Brion (Université Grenoble Alpes)
    Automorphismes infinitésimaux des courbes algébriques
    L'exposé portera sur les courbes algébriques projectives sur un corps de caractéristique positive. Leurs groupes d'automorphismes ont été beaucoup étudiés, mais les schémas en groupes d'automorphismes (par exemple, les champs de vecteurs) sont bien plus mystérieux. En particulier, la correspondance classique entre automorphismes des courbes projectives normales et de leurs corps de fonctions ne
    s'étend pas aux schémas en groupes. L'exposé introduira une notion de "normalisation équivariante" qui permet de remédier à ce problème, et il présentera quelques propriétés des courbes "G-normales", dont leur structure pour un schéma en groupes G fini et diagonalisable.
  • Le 1er décembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Sylvain Brochard (Université de Montpellier 2)
    Critères de platitude : deux conjectures de C. Khare
    Soit $(A,m,k)$ un anneau local noethérien et soit P un complexe de longueur $d$ (finie) de $A$-modules libres de rangs finis. On note $edim(A)=dim_k(m/m^2)$ la dimension de plongement de $A$, et $D(A)$ la catégorie dérivée des complexes de A-modules. On suppose que le morphisme naturel $A\rightarrow End_{D(A)}(P)$ se factorise par un anneau local noethérien $B$ dont la dimension de plongement est inférieure ou égale à $edim(A)-d$. Une conjecture de Khare prédit alors que le dernier groupe d'homologie de $P$ est un $B$-module libre. Je présenterai et motiverai cette conjecture, et ses liens avec les méthodes dites de "patching" couramment utilisées par les théoriciens des nombres dans les problèmes de relèvement modulaire. Puis je donnerai quelques résultats partiels obtenus en collaboration avec S. Iyengar et C. Khare. Si le temps le permet, je présenterai rapidement une autre conjecture de Khare dans l'esprit du critère numérique de Taylor et Wiles revisité par Diamond.
  • Le 8 décembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Benoit Loisel (Université de Poitiers)
    Sur certains sous-groupes arithmétiques des groupes de Chevalley
    Soit $\mathcal{C}$ une courbe projective lisse géométriquement intègre sur $\mathbb{F}$. Si $S$ est un ensemble fini de points fermés, on peut considérer l'anneau d'entiers des fonctions régulières sur $\mathcal{C}$ hors de $S$, noté $\mathcal{O}_S$ et son corps des fractions $k$. L'enjeu de la théorie des groupes $S$-arithmétiques est de comprendre la structure et les propriétés des groupes $G(\mathcal{O}_S)$ pour un schéma en groupes $\mathbb{G}$.

    Dans le cas particulier du groupe $\mathbf{G}=\mathrm{SL}_2$ et d'un singleton $S=\{P\}$, Serre a décrit la structure de ces groupes via leur action sur l'arbre de Bruhat-Tits, ce qui permet de les réaliser comme amalgames de groupes. Dans le cas de la droite projective $\mathbb{P}^1$ privée de son point à l'infini, i.e. $\mathcal{O}_{\infty}=\mathbb{F}[t]$, et d'un groupe déployé $\mathbf{G}$, Soulé obtient que l'espace des orbites de l'action de $\mathbf{G}(\mathbb{F}[t])$ sur l'immeuble de Bruhat-Tits est isomorphe à un quartier de cet immeuble.

    Dans cet exposé, en adaptant des techniques utilisées par Mason sur $\mathrm{SL}_2$, nous verrons que l'espace des orbites de l'action d'un groupe déployé arbitraire sur l'anneau d'entier associé à un point fermé de la courbe projective est constitué d'une quantité de quartiers en lien avec le groupe de Picard de l'anneau d'entiers, et quelques conséquences de ces techniques.

    Il s'agit d'un travail en commun avec Claudio Bravo.
  • Le 15 décembre 2023 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Christian Maire (Université de Franche-Comté)
    Extensions modérément ramifiées, corps gouvernants et obstructions
    Soit $K$ un corps de nombres et soit $G^{ta}$ le groupe de Galois de l'extension galoisienne maximale $K^{ta}$ de $K$, modérément ramifiée.
    Soit $p$ un nombre premier. Dans cet exposé on s'intéresse aux pro-$p$-quotients de $G^{ta}$, dans l'esprit du théorème de Scholz-Reichardt.
    En particulier, on fera ressortir le lien entre une obstruction à un problème de plongement et un corps gouvernant.
    C'est un travail en commun avec Farshid Hajir, Michael Larsen et Ravi Ramakrishna.
  • Le 19 janvier 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Pierre Charollois (IMJ-PRG)
    Sur le rêve de jeunesse d'Eisenstein pour les corps cubiques complexes
    Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de "réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe de produits infinis méromorphes qu’il considère possède de riches applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu’il avait effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques complexes de la théorie CM des unités elliptiques.
    Il s’agit d’un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis Garcia.
  • Le 26 janvier 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Peter Koymans (ETH Zürich)
    Value sets of binary forms
    Given a binary form F with integer coefficients, we define its value set $Val(F)$ to be the set $F(x, y)$ for integers $x, y$. For two binary forms $F$ and $G$, what can we say if $Val(F) = Val(G)$? The goal of this talk is to show how one may give a complete answer to this question. This is joint work with Etienne Fouvry.
  • Le 2 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Rubén Muñoz--Bertrand (Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines)
    Witt, vite
    Du point de vue algorithmique, les opérations dans l'anneau des vecteurs de Witt sont coûteuses. Jusqu'à présent seul l'algorithme de Finotti, introduit en 2014, parvenait à faire mieux que le calcul direct des polynômes à coefficients entiers définissant ces opérations. Nous verrons comment l'application d'un isomorphisme d'Illusie permet de donner un nouvel algorithme pour l'addition de vecteurs de Witt à coefficients polynomiaux, plus efficace que celui de Finotti. Nous donnerons ensuite une application de cet algorithme au comptage de points employant des méthodes de cohomologie p-adique.
  • Le 9 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Anneloes Viergever (Leibniz Universität Hannover)
    The compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic of the symmetric powers of a cellular variety
    To a variety over a characteristic zero field, one can associate its compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic using motivic homotopy theory, as was done in work of Arcila-Maya, Bethea, Opie, Wickelgren and Zakharevich. These are quadratic forms, which carry a lot of information, but they are often difficult to compute in practice. I will discuss joint work in progress with Jesse Pajwani and Herman Rohrbach in which we apply the machinery of power structures on the Grothendieck-Witt ring as introduced in work of Pajwani and Pál to calculate the compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic of the symmetric powers of a cellular variety.
  • Le 16 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    David Solomon (University College London)
    Les SIC, les groupes de Heisenberg et les unités de Stark dans la $p^\infty$-tour sur un corps quadratique réel
    Les SIC, ou SIC-POVM, sont des systèmes maximaux de droites dites équiangulaires dans ${\mathbb C}^d$, $d>3$. Objets d'intérêt de la physique quantique et du "Design Theory" depuis les années 1970, on a constaté heuristiqument:
    a) que tous, sauf un, admettent une action unitaire du groupe de Heisenberg ${\mathcal{H}}({\mathbb Z}/d{\mathbb Z})$, l'ensemble des matrices unipotentes $3\times 3$ modulo $d$, et plus récemment,
    b) qu'ils ont les angles déterminés par des unités de Stark sur le corps quadratique réel $k={\mathbb Q}(\sqrt{(d-3)(d+1)})$.
    Ces derniers sont des célèbres unités spéciales dans les extensions abéliennes de $k$, dont l'existence, conjecturée par Harold Stark en 1976, mènerait à une solution du 12-ième problème sur $k$ de Hilbert, le "Jugendtraum" de Kronecker).

    Après avoir examiné ces phenomènes, encore assez mystérieux, d'un peu plus près, j'esquisserai des travaux en cours: en prenant $d=p^n$, pour un nombre premier $p$ décomposé dans $k$, et en faisant $n\rightarrow \infty$ on arrive à une théorie $p$-adique mettant en évidence une action de ${\mathcal{H}}({\mathbb Z}_p)$ sur les mesures $p$-adiques ainsi que les séries formelles de Coleman. On cherche ainsi à étudier l'action de Galois sur les unités de Stark à travers le groupe d'automorphismes ${\rm Aut}({\mathcal{H}}({{\mathbb Z}}_p))$ et certaines intégrales $p$-adiques.
  • Le 23 février 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Cédric Pépin Université Sorbonne Paris Nord
    Morphismes de Satake mod p dérivés pour les poids p-petits
    Soient $G$ un groupe réductif connexe déployé sur $\mathbf{Z}_p$, et $L$ une
    représentation algébrique irréductible de $G$ de poids dominant $p$-petit.
    Pour tout parabolique $P=MN$ de $G$, on construit un morphisme de la
    Ext-algèbre de Hecke sphérique de $G(\mathbf{Q}_p)$ vers la Ext-algèbre de Hecke
    sphérique de $M(\mathbf{Q}_p))$, à coefficients dans la réduction mod $p$ de $L$. En
    degré $0$, il coïncide avec le morphisme de Satake mod $p$ défini par Herzig
    et Henniart-Vignéras. Il s'agit d'un travail avec Karol Koziol.
  • Le 23 février 2024 à 15:30
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Yi Ouyang UST of China Hefei
    Unboundedness of Tate-Shafarevich groups in fixed cyclic extensions
    In this talk we prove two unboundedness results about the Tate-Shafarevich groups of abelian varieties in a fixed nontrivial cyclic extension $L/K$ of global fields, firstly in the case that $K$ is a number field and the abelian varieties are elliptic curves, secondly in the case that $K$ is a global field, $[L : K]$ is a $2$-power and the abelian varieties are principally polarized. This is a joint work with Jianfeng Xie.
  • Le 8 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Matthew Satriano (University of Waterloo)
    Unifying the Batyrev-Manin and Malle Conjectures
    The Batyrev-Manin conjecture gives a prediction for the asymptotic growth rate of rational points on varieties over number fields when we order the points by height. The Malle conjecture predicts the asymptotic growth rate for number fields of degree d when they are ordered by discriminant. The two conjectures have the same form and it is natural to ask if they are, in fact, one and the same. We develop a theory of point counts on stacks and give a conjecture for their growth rate which specializes to the two aforementioned conjectures. This is joint work with Jordan Ellenberg and David Zureick-Brown. No prior knowledge of stacks will be assumed for this talk.
  • Le 15 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Francesco Baldassarri (Padova University)
    Analyse de Fourier sur Qp et un analogue p-adique des séries de Dirichlet
    Je cherche à donner une extension "canonique" des fonctions L de Dirichlet p-adiques de $\mathbf{Z}_p$ à $\mathbf{Q}_p$. On veut des fonctions localement analytiques, bien-sûr, mais aussi on pourrait demander que ces fonctions soient somme de leur série de Fourier, en un sens à définir, uniformément sur tout un voisinage tubulaire de $\mathbf{Q}_p$ dans la droite analytique sur $\mathbf{Q}_p$.

    Cela donnerait sinon l'existence, au moins l'unicité de l'extension. Je travaille avec des caractères additifs de $\mathbf{Q}_p$ qui ont justement la propriété ci-dessus et qui me rappellent les séries de Dirichlet classiques.
  • Le 22 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Cédric Pilatte (Oxford University)
    Bornes améliorées pour les corrélations logarithmique de fonctions multiplicatives
    La fonction de Liouville $\lambda(n)$ est définie comme étant égale à $+1$ si $n$ est un produit d'un nombre pair de nombres premiers, et à $-1$ dans le cas contraire. Le comportement statistique de $\lambda$ est étroitement lié à la distribution des nombres premiers. À bien des égards, la fonction de Liouville est supposée se comporter comme une séquence aléatoire de $+1$ et de $-1$. Par exemple, la conjecture de Chowla (binaire) prédit que la moyenne de $\lambda(n)\lambda(n+1)$ pour $n < x$ tend vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini. Dans cet exposé, je discuterai des bornes quantitatives pour une version logarithmique de ce problème.
  • Le 29 mars 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Thomas Buchet (Université Côte d'Azur)
    Courbes de genre 4 : invariants et reconstruction
    Dans cet exposé, nous allons introduire des invariants algébriques pour les courbes non-hyperelliptiques de genre 4, qui caractérisent les classes d'isomorphismes de ces courbes (sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle). Ces invariants sont définis à l'aide d'opérateurs différentiels et rendent leur calcul très effectif. Il est donc facile de vérifier si, géométriquement, deux courbes sont dans la même classe d'isomorphisme.
    L'étude des classes d'isomorphismes des courbes non-hyperelliptiques de genre 4 se ramène à l'étude de certaines algèbres de polynômes sous l'action de groupes linéairement réductifs. Cela conduit à la recherche d'un système générateur de fonctions invariantes par ces actions, qui nous fournit ces fameux invariants algébriques. Après avoir introduit quelques outils de théorie classique des invariants qui nous ont permis de résoudre ce problème, nous donnerons les idées des preuves des principaux résultats.
    Enfin, nous expliciterons un algorithme qui, donné une liste d'invariants, reconstruit une courbe non-hyperelliptique de genre 4 qui possède ces invariants.
    Cet algorithme généralise celui de Mestre pour les formes binaires, et il fonctionne dans un cadre plus général que celui de l'exposé.
  • Le 5 avril 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Liana Heuberger (University of Bath)
    Construction des variétés de Fano
    L'inversion de Laurent est un algorithme pour construir des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Le but de cette construction c'est de trouver une variété de Fano peu singulière à partir d'un certain polynôme de Laurent $f$. Je présenterai mes progrès dans le cas $ 3 $-dimensionnel.
    Soit $f$ un polynôme de Laurent dont le support est un polytope $P$, auquel on associe un variété de Fano torique $X_P$. Dans le cas le plus général, l'inversion de Laurent construit un plongement de $X_P$ dans une variété torique ambiente $Y$. Si en plus $X_P$ est une intersection complète donnée par des fibrés en droites sur $Y$, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano $X$ dont une dégénéresence torique est $X_P$. La difficulté est donc d'en trouver un tel $Y$ permettant que $X$ soit le plus lisse que possible.
  • Le 12 avril 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Julia Schneider (University of Zürich)
    Le groupe de Cremona sur les corps imparfaits
    Le groupe de Cremona (du plan) sur un corps K est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif définies sur K. Leur structure de groupe dépend du corps K. Si K est algébriquement clos l'étude de ces groupes est classique. Au cours des dernières années plusieurs résultats ont été obtenus spécifiquement pour des corps parfaits, utilisant le programme de Sarkisov où les surfaces del Pezzo de petit rang de Picard jouent un rôle clé. Dans cet exposé je vais expliquer comment passer des corps parfaits à des corps imparfaits, et présenter les progrès réalisés dans un travail en commun avec Fabio Bernasconi, Andrea Fanelli et Susanna Zimmermann.
  • Le 19 avril 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Xenia Dimitrakopoulou (University of Warwick)
    Anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for families of $U_n \times U_{n+1}$
    I will report on recent work on the construction of anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for Rankin-Selberg products. I will explain how by $p$-adically interpolating the branching law for the spherical pair $\left(U_n, U_n \times U_{n+1}\right)$, we can construct a $p$-adic $L$-function attached to cohomological automorphic representations of $U_n \times U_{n+1}$. Due to the recent proof of the unitary Gan-Gross-Prasad conjecture, this $p$-adic $L$-function interpolates the square root of all critical $L$-values, including anticyclotomic variation. Time allowing, I will explain how we can extend this result to the Coleman family of an automorphic representation.
  • Le 3 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Aurore Boitrel (Paris-Saclay)
    TBA
    ...
  • Le 17 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Dino Lorenzini (UGA)
    TBA
    ...
  • Le 24 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Maria Montanucci (Technical University Copenaghen)
    TBA
    ...
  • Le 31 mai 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Marsault Chabat Université Franche Comté
    TBA
    TBA
  • Le 7 juin 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Stefano Morra LAGA (Paris 13)
    Un modèle local pour les représentations potentiellement Barsotti–Tate
    Les anneaux de déformation potentiellement Barsotti–Tate sont un outil essentiel pour l’obtention de résultats profonds en arithmétique, comme la conjecture de Shimura–Taniyama–Weil ou la conjecture de Breuil–Mézard. Néanmoins leur géométrie n’est pas encore bien comprise, et présente de comportement variés avec la parution de points irréguliers ou non-normaux (comme montré par des exemples et conjectures de Caruso–David–Mézard). Dans cet exposé nous discuterons comment les champs de modules de Breuil–Kisin peuvent être utilisés pour décrire la géométrie des champs des représentations potentiellement et modérément Barsotti–Tate (en rang 2, pour des extension non ramifiées de $\mathbf{Q}_p$), en utilisant la théorie des modèles locaux des groupes des lacets en caractéristique mixte. L’outil technique principal est une analyse de la p-torsion d’un complexe tangent pour relever des cartes affines pour des images schématiques entre champs de Breuil–Kisin et des représentations Galoisiennes. Avec ce procédé, nous obtenons un algorithme pour calculer des présentations explicites des anneaux de déformation potentiellement modérément Barsotti–Tate pour les représentations Galoisiennes de dimension 2 pour des extensions non-ramifiées de $\mathbf{Q}_p$. Ceci est un travail en commun avec B. Le Hung et A. Mézard.
  • Le 14 juin 2024 à 14:00
  • Séminaire de Théorie des Nombres
    Salle de conférences
    Salim Rostam Université de Tours
    TBA
    TBA

    Les séminaires depuis 2013