Schémas numériques de type Boltzmann

Bordeaux, 23-24 novembre 2022

Comité d'organisation

Stéphane Brull Stephane.Brull@math.u-bordeaux1.fr



Présentation du workshop

Cette conférence est dédiée aux schémas de type Boltzmann pour résoudre des équations issues de la mécanique des fluides. Ces méthodes ont connu un grand développement au cours de ces dernières années. Elles sont basées sur la recherche d'une équation cinétique sous jacente capable de restituer le modèle de départ après une limite hydrodynamique. Cette procédure permet en particulier de traiter le terme de transport de manière plus simple. Cette rencontre permettra alors de faire un point sur ces méthodes et d'en comparer différents aspects. Ces méthodes trouvent de nombreuses applications dans des domaines comme la mécanique des fluides, l'océanographie ou la physique des plasmas. Nous souhaitons également que cette rencontre soit l'occasion de discussions et d'échanges fructueux entre les différents participants.

La langue de ce workshop sera le Français.

Inscription

L'inscription est obligatoire même s'il n'y a pas de frais d'inscriptions Vous pouvez vous enregistrer en envoyant un mail à Stéphane Brull > jusqu'au 14 novembre.


Thomas Bellotti (CMAP-Ecole polytechnique) : Initialisation pour les schémas de Boltzmann sur réseau : aspects discrets et asymptotiques talk.pdf
Abstract: Les méthodes mésoscopiques et les méthodes multi-pas partagent une grande liberté de choix concernant leur initialisation. Dans le premier cas, les données ne sont connues que pour les variables conservées, alors qu'elle demeurent arbitraires pour les moments non conservés. Dans le second cas, les méthodes nécessitent de schémas de démarrage, qui peuvent eux aussi être choisi arbitrairement. Les méthodes de Boltzmann sur réseau peuvent être interprétées comme appartenant aux deux catégories ci-dessus [1, 2]. Nous proposons une méthode pour retrouver les équations modifiées [3] des schémas d'initialisation pour les méthodes de Boltzmann sur réseau, en fonction du choix de données initiales. Ces équations fournissent des repères afin de concevoir et d'analyser le démarrage des schémas du point de vue de leur ordre de consistance vis-à-vis du problème de Cauchy considéré et de la régularité en temps de la solution numérique obtenue. Concernant les contraintes permettant de gagner de la régularité en temps, nous expliquons comment un fort manque d'observabilité pour certain schémas de Boltzmann sur réseau - vus comme des systèmes dynamiques sur un anneau commutatif - permet de retrouver des conditions relativement simples et maîtrisables. Cela vient du nombre réduit de schémas d'initialisation à un niveau purement discret. Différent cas test corroborent les résultats théoriques.

[1] Caetano, F., Dubois, F., and Graille, B. - A result of convergence for a mono-dimensional two-velocities lattice Boltzmann scheme. ArXiv preprint arXiv:1905.12393 (2019).

[2] Bellotti, T., Graille, B., and Massot - M. Finite difference formulation of any lattice Boltzmann scheme - Numerische Mathematik 152 (2022), 1-40.

[3] Bellotti, T. - Rigorous derivation of the macroscopic equations for the lattice Boltzmann method via the corresponding Finite Difference scheme. Soumis. arXiv preprint arXiv:2205.02505 (2022).

Romane Hélie (Strasbourg) : Equivalent systems of kinetic relaxation schemes talk.pdf
Abstract: Kinetic relaxation schemes are efficient numerical methods to solve an hyperbolic system of unknown w. The method consists in solving a kinetic model with n velocities corresponding to n kinetic variables. However, kinetic schemes can be difficult to analyze. To do that, we propose to study the equivalent system on n variables : the unknown w and n-1 additional variables. From this equivalent system, we will see how to retrieve the classical equivalent equation which depends only on the unknown w (see [1], [2]). Then, we will compare the stability conditions obtained from the equivalent system and the equivalent equation.

[1] F. Dubois. Equivalent partial differential equations of a lattice boltzmann scheme. Computers and Mathematics with Applications, 55(7):1441-1449, 2008.

[2] B. Graille. Approximation of mono-dimensional hyperbolic systems: A lattice boltzmann scheme as a relaxation method. Journal of Computational Physics, 266:74-88, 2014.

Nathalie Bonamy Parrilla (IMB-Bordeaux) :Modèles cinétiques et fluides pour les plasmas de décharge talk.pdf
Abstract: On s'intéresse à la modélisation du comportement des électrons dans un plasma de décharge luminescent. Le modèle généralement utilisé est celui de dérive-diffusion, qui consiste en une équation pour la masse et une pour l'énergie, sur les variables macroscopiques. Des méthodes comme lattice Boltzmann ont prouvé leur éfficacité pour la résolution d'équations fluides à partir de schémas cinétiques. On souhaite donc écrire une équation cinétique sur la fonction de distribution des électrons, partant d'un modèle adimensionné réalisé par Degond, Lucquin-Desreux et Choquet dans [1], qui permettra par la suite d'écrire des schémas cinétiques pour la résolution numérique. Les simplfications faites sur les opérateurs de collisions et le changement de scaling sera détaillé ainsi que le résultat fluide obtenu.

[1] Choquet, I., Degond, P., & Lucquin-Desreux, B. (2009). A strong ionization model in plasma physics. Mathematical and computer modelling, 49(1-2), 88-113.

Kevin Guillon (IMB-Bordeaux) : talk.pdf


Denise Aregba (IMB-Bordeaux) : Schémas de relaxation pour des systèmes conservatifs et non conservatifs talk.pdf


François Dubois (CNAM) : Une analyse asymptotique des schémas de Boltzmann sur réseau talk.pdf
Abstract: Après avoir rappelé divers éléments fondamentaux pour la construction des schémas de Boltzmann sur réseau, nous présentons notre approche "ABCD", fondée sur le fait que le schéma numérique est exact pour l'équation d'advection avec les vitesses du réseau. Cette analyse asymptotique permet d'écrire au différents ordres les équations aux dérivées partielles conservatives équivalentes au schéma. Un réglage de paramètres permet dans les bons cas une approximation au second ordre des équations des fluides compressibles.

Katia Aït-Ameur (CMAP-Ecole polytechnique) : Méthodes numériques d'ordre élévé pour les modèles aux moments
talk.pdf
abstract.pdf

Xavier Lhébrard (Université du Littoral et de la Côte d'Opale) : Prise en compte de champs magnétiques dans le modèle d'Euler bitempérature lhebrard.pdf
Abstract: Ce travail s'effectue dans le contexte de la fusion par confinement inertiel. Dans cette situation physique, l'échelle de temps caractéristique du phénomène est plus courte que le temps de collision entre les ions et les électrons. L'équilibre thermique entre les ions et les électrons n'est donc pas atteint. De plus, lors de la phase finale du confinement, la cible est pénétrée par des électrons relativistes induisant un champs magnétique fortement variable. Cet exposé sera en trois parties. Premièrement, on présentera une nouvelle modélisation de ce problème, sous forme de système hyperbolique non-conservatif. Ce système de six équations décrit la MHD (magnétohydrodynamique) bi-température pour une polarisation transverse magnétique. Deuxièmement, on expliquera comment développer un schéma volumes finis explicite par la résolution d'un système de relaxation de type Suliciu associé. L'intérêt de cet approche est de s'assurer de la stabilité au travers des discontinuités (ondes de chocs, discontinuité de contact). Plus précisément, on montrera qu'il existe des conditions suffisantes pour avoir positivité (densité, températures) et inégalité d'entropie (second principe de la thermodynamique). Troisièmement, on présentera des résultats numériques. On proposera de nouveaux cas tests pertinents pour les applications visées, et on comparera les résultats de notre méthode avec une version nonconservative du schéma classique Rusanov.

Programme


mercredi 23 novembre

14h00-15h00 Xavier Lhébrard
15h00-16h00 Kevin Guillon
16h00-16h30 Pause café
16h30-17h30 Katia Aït-Ameur
20h00 Dîner à la belle époque


jeudi 24 novembre

9h30-10h30 Romane Hélie
10h30-11h00 Pause café
11h00-12h00 Thomas Bellotti
12h00-12h30 Nathalie Bonamy Parilla
12h30-14h00 Déjeuner
14h00-15h00 François Dubois
15h00-16h00 Denise Aregba
16h00 Pause café et discussions


Participants:

Stéphane Brull Denise Aregba Rim Fahrat
Kevin Guillon François Dubois Romane Hélie
Nathalie Bonamy Parrilla Katia Aït-Ameur Corentin Prigent
François Rogier Xavier Lhébrard Marouane Assal
Bastien Breton Thomas Bellotti

Back